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La nota del final de este Post es falsa

2 de diciembre de 2005

Creo que ya os he hablado con anterioridad, en alguna de las páginas donde he escrito, o quizás en persona, de Gödel y su teorema de Incompletitud.
No sé por qué, pero la relevancia de este enunciado ha sido tal que podemos compararla con la que tuvo la Teoría de la Relatividad de Einstein o el Principio de Incertidumbre de Heisenberg , y sin embargo, conozco a pocas personas que tengan una idea de lo que dice.

El enunciado tal y como fue escrito (traducido, claro está) sería el siguiente:

“A toda clase c de fórmulas w-consistente recursivas le corresponde una clase-signo r, tal que ni v Gen r, ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg(c), donde v es la variable libre de r”

Por supuesto, el teorema enunciado de esta forma, ni tú ni yo seríamos capaces de entenderlo, por lo que traducido al lenguaje coloquial sería algo como esto:

“Existen aseveraciones cuya verdad/falsedad no vamos a poder demostrar”

Fíjate qué interesante se está poniendo esto. Gödel no se interesa en saber si una aseveración es falsa o verdadera. Lo que afirma es que en cualquier sistema lógico basado en axiomas, existen aseveraciones cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de una aseveración era poder demostrar que era verdadera o bien que era falsa. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.

Dicho de otra manera, Gödel nos hace ver que la verdad es una categoría más poderosa que la demostrabilidad.

Aclaremos esto. Lo que Gödel demuestra es que en todo sistema axiomático formal existen aseveraciones cuya verdad o falsedad es imposible de decidir desde dentro del sistema. Si nos salimos del sistema, entonces podremos saber si son verdaderas o falsas, pero dentro del sistema no. Este resultado se conoce como el teorema de indecidibilidad de Gödel.

La existencia de estas paradojas o proposiciones no decidibles deja al sistema lógico de referencia debilitado. Un matemático quisiera que su sistema basado en unos cuantos axiomas fuera suficientemente poderoso, completo y consistente para que fuera posible decidir formalmente sobre la verdad o falsedad de cualquier proposición.
“¿Cuál es el problema?”, podría decir otro incauto matemático, la solución está simplemente en ampliar el sistema lógico en el que estamos trabajando con un axioma adicional que permita demostrar que la tal aseveración indecidible es en efecto verdadera o falsa. Y el asunto quedó resuelto, ¿no?

No, porque el teorema de Gödel vuelve a operar en este nuevo sistema lógico aumentado ya que van a existir otras nuevas proposiciones cuya verdad/falsedad no van a poder decidirse. Cada vez que aumentemos nuestro sistema con un nuevo axioma reparando así el problema de las proposiciones no decidibles, aparecerán otras nuevas proposiciones no decidibles. Para resolver todo este embrollo tendríamos que seguir añadiendo axiomas y más axiomas hasta llegar a un sistema lógico con un número infinito de axiomas, lo cual es imposible.

Para aclarar las objeciones anteriores, Gödel demostró que en un sistema formal suficientemente rico y poderoso para que la verdad o falsedad de cualquier aseveración siempre pueda decidirse, existirán proposiciones contradictorias y paradójicas. Esta vertiente se conoce como el teorema de incompletez de Gödel. (Otra nueva palabreja para añadir a nuestro idioma)

Fuente: Biblioteca de Hipercuadernos, por el Dr. Alfredo Alejandro Careaga.

Nota: El título de este Post es verdadero.