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La nota del final de este Post es falsa

Viernes, 2 de Diciembre de 2005

Creo que ya os he hablado con anterioridad, en alguna de las páginas donde he escrito, o quizás en persona, de Gödel y su teorema de Incompletitud.
No sé por qué, pero la relevancia de este enunciado ha sido tal que podemos compararla con la que tuvo la Teoría de la Relatividad de Einstein o el Principio de Incertidumbre de Heisenberg , y sin embargo, conozco a pocas personas que tengan una idea de lo que dice.

El enunciado tal y como fue escrito (traducido, claro está) sería el siguiente:

“A toda clase c de fórmulas w-consistente recursivas le corresponde una clase-signo r, tal que ni v Gen r, ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg(c), donde v es la variable libre de r”

Por supuesto, el teorema enunciado de esta forma, ni tú ni yo seríamos capaces de entenderlo, por lo que traducido al lenguaje coloquial sería algo como esto:

“Existen aseveraciones cuya verdad/falsedad no vamos a poder demostrar”

Fíjate qué interesante se está poniendo esto. Gödel no se interesa en saber si una aseveración es falsa o verdadera. Lo que afirma es que en cualquier sistema lógico basado en axiomas, existen aseveraciones cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de una aseveración era poder demostrar que era verdadera o bien que era falsa. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.

Dicho de otra manera, Gödel nos hace ver que la verdad es una categoría más poderosa que la demostrabilidad.

Aclaremos esto. Lo que Gödel demuestra es que en todo sistema axiomático formal existen aseveraciones cuya verdad o falsedad es imposible de decidir desde dentro del sistema. Si nos salimos del sistema, entonces podremos saber si son verdaderas o falsas, pero dentro del sistema no. Este resultado se conoce como el teorema de indecidibilidad de Gödel.

La existencia de estas paradojas o proposiciones no decidibles deja al sistema lógico de referencia debilitado. Un matemático quisiera que su sistema basado en unos cuantos axiomas fuera suficientemente poderoso, completo y consistente para que fuera posible decidir formalmente sobre la verdad o falsedad de cualquier proposición.
“¿Cuál es el problema?”, podría decir otro incauto matemático, la solución está simplemente en ampliar el sistema lógico en el que estamos trabajando con un axioma adicional que permita demostrar que la tal aseveración indecidible es en efecto verdadera o falsa. Y el asunto quedó resuelto, ¿no?

No, porque el teorema de Gödel vuelve a operar en este nuevo sistema lógico aumentado ya que van a existir otras nuevas proposiciones cuya verdad/falsedad no van a poder decidirse. Cada vez que aumentemos nuestro sistema con un nuevo axioma reparando así el problema de las proposiciones no decidibles, aparecerán otras nuevas proposiciones no decidibles. Para resolver todo este embrollo tendríamos que seguir añadiendo axiomas y más axiomas hasta llegar a un sistema lógico con un número infinito de axiomas, lo cual es imposible.

Para aclarar las objeciones anteriores, Gödel demostró que en un sistema formal suficientemente rico y poderoso para que la verdad o falsedad de cualquier aseveración siempre pueda decidirse, existirán proposiciones contradictorias y paradójicas. Esta vertiente se conoce como el teorema de incompletez de Gödel. (Otra nueva palabreja para añadir a nuestro idioma)

Fuente: Biblioteca de Hipercuadernos, por el Dr. Alfredo Alejandro Careaga.

Nota: El título de este Post es verdadero.

Escrito por Gosku Compártelo

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Categorías: Ciencia

5 Comentarios »

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Comentario por Rosa — 4 Diciembre 2005 #

Pues es una casualidad que escribas sobre el teorema de incompletitud de Gödel el mismo día en el que yo hablo de los distintos infinitos de Cantor. Ahí menciono un famoso problema del que no se puede demostrar su verdad/falsedad, la hipótesis del continuo :_D
Comentario por Gosku — 4 Diciembre 2005 #

No es una casualidad, tu Post me hizo recordar a Gödel, jejejeje.
Comentario por Rosa — 5 Diciembre 2005 #

Ah, vale :_D Guay.
Comentario por Miss Göd... — 11 Diciembre 2005 #

Hola, estoy leyendo el G.E.B.
y no comprendes porqué la gente asume que se puede crear una proposición reflexiva dentro de un sistema formal como si tal cosa;
cuando la demostración de eso sólo está al alcance del entendimiento de cuatro genios… que no creo que seamos los de los cuatro comments… de todas formas, Gödel era un TARADO que murió de hambre porque sólo comía lo que hacía su mujer
Pingback por Noséqué.net » Inteligencia Artificial y Lenguaje — 9 Marzo 2006 #

[...] Está claro que estos objetivos son los primordiales de la Inteligencia Artificial, una ciencia muy nueva, y de la que aún muchos escépticos reniegan. En más de una ocasión hablé de Gödel y su Teorema de Incompletitud. Y es que mucho tiene que decir este hombre en cuanto a AI se refiere. Como dirían por ahí, este tío debe de saber algo al respecto ¿Por qué? Porque aquí nos topamos con la eterna pregunta: ¿Puede el hombre crear (porque las máquinas las crea el hombre) un ente (llámalo x) tan inteligente como el ser humano? Gödel afirma que no, principalmente, y para que se entienda, porque si el hombre es incapaz de comprenderse a sí mismo, ¿cómo va a recrearse? Y no se comprende a sí mismo en muchos aspectos, empezando por el lenguaje, un tema interesante y precisamente uno de los requisitos que pedía Turing para determinar la inteligencia de una máquina. Sin importar cuál sea el enfoque particular hacia el lenguaje, el punto de partida de toda esta disciplina es la existencia de un conjunto finito de reglas o axiomas sobre los cuales se establece la creación y el uso del lenguaje. Es posible que algunas de estas reglas básicas no se expresen en forma explícita o que ni siquiera se conozcan todavía. Sin embargo, en esta disciplina se intenta establecer dicho conjunto finito de axiomas a partir de los cuales se construye el lenguaje natural. Debido a esto el estudio del lenguaje y las comunicaciones también está limitado por el teorema de Gödel. Dicho de otra forma: Queremos que las máquinas hablen nuestro lenguaje natural, pero éste es ambiguo, tan ambiguo que ni nosotros somos capaces de conocer al 100% ¿cómo vamos a traducir las reglas del lenguaje natural a algoritmos que una máquina reconozca si ni siquiera sabemos qué reglas son esas? Pero no he dicho todo del lenguaje (ni lo habré dicho cuando acabe el post, está claro). Y es que hay una parte del lenguaje que se escapa del teorema de Gödel: La poesía. En ella, se permiten todo tipo de contradicciones, paradojas e inconsistencias. Esto es porque no se basa en un cojunto de axiomas y reglas, sino todo lo contrario. En la poesía prima la libertad del lenguaje, sin importar las inconsistencias. De hecho, si alguien ha leido un poquito de Nietzsche, sabrá que él defendía a la poesía como la poseedora de la verdad absoluta, pero eso ya es otra historia. [...]